Просмотр кода страницы Конкурсы/Энциклопедия юных 2022/Естественно-технические конкурсные статьи/Гармонический ряд

'''Гармонический ряд''' — сумма, составленная из бесконечного количества чисел вида
: <math> \sum_{n=1}^\mathcal{\infty} \frac{1}{n}=1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots +\frac{1}{n} + \cdots </math>
Ряд называется гармоническим, так как каждый его член, начиная со второго, равен среднему гармоническому двух соседних.

Члены гармонического ряда с возрастанием номера <math>n</math> убывают и стремятся к нулю, однако частичные суммы <math>S_n</math> неограниченно возрастают:
{{столбцы}}
{{столбец}}
: <math>n_1 = 1</math>;
: <math>n_2 = \frac{1}{2} = 0{,}5</math>;
: <math>n_3 = \frac{1}{3} \approx 0{,}333</math>;
: <math>n_4 = \frac{1}{4} = 0{,}25</math>;
: <math>n_5 = \frac{1}{5} = 0{,}2</math>;
: <math>n_6 = \frac{1}{6} \approx 0{,}167</math>;
{{столбец}}
: <math>S_1 = 1</math>;
: <math>S_2 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1{,}5</math>;
: <math>S_3 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{11}{6} \approx 1{,}833</math>;
: <math>S_4 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{25}{12} \approx 2{,}083</math>;
: <math>S_5 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{137}{60} \approx 2{,}283</math>;
: <math>S_6 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} = \frac{49}{20} = 2{,}45</math>.
{{столбцы/конец}}

Таким образом, можно сделать вывод о том, что сумма <math>2^n</math> членов гармонического ряда больше, чем <math>1 + n/2</math>, поэтому частичные суммы гармонического ряда неограниченно возрастают, то есть гармонический ряд является ''расходящимся''. Однако этот рост происходит очень медленно, и изучавший свойства гармонического ряда Леонард Эйлер установил зависимость для его частичных сумм:
: <math>\lim_{n \to \infty} (S_n - \ln{n}) = \gamma</math>,
где <math>\gamma \approx 0{,}5772</math> — постоянная Эйлера.

== Литература ==
* {{книга|часть=Гармонический ряд|заглавие=Энциклопедический словарь юного математика|ответственный=Сост. А. П. Савин|место=М.|издательство=Педагогика|год=1989|страницы=53|страниц=352|isbn=5-7155-0218-7}}
[[Категория:Естественно-технические конкурсные статьи]]