Конкурсы/Энциклопедия юных 2022/Естественно-технические конкурсные статьи/Гармонический ряд

Гармонический ряд — сумма, составленная из бесконечного количества чисел вида

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{n}+\cdots$

Ряд называется гармоническим, так как каждый его член, начиная со второго, равен среднему гармоническому двух соседних.

Члены гармонического ряда с возрастанием номера $n$ убывают и стремятся к нулю, однако частичные суммы $S_n$ неограниченно возрастают: Шаблон:Столбцы Шаблон:Столбец

$n_1=1$;

$n_2=\frac{1}{2}=0,5$;

$n_3=\frac{1}{3}\approx 0,333$;

$n_4=\frac{1}{4}=0,25$;

$n_5=\frac{1}{5}=0,2$;

$n_6=\frac{1}{6}\approx 0,167$;

$S_1=1$;

$S_2=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}=1,5$;

$S_3=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{11}{6}\approx 1,833$;

$S_4=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{25}{12}\approx 2,083$;

$S_5=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\frac{137}{60}\approx 2,283$;

$S_6=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=\frac{49}{20}=2,45$.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что сумма $2^n$ членов гармонического ряда больше, чем $1+n/2$, поэтому частичные суммы гармонического ряда неограниченно возрастают, то есть гармонический ряд является расходящимся. Однако этот рост происходит очень медленно, и изучавший свойства гармонического ряда Леонард Эйлер установил зависимость для его частичных сумм:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(S_n-\ln n)=\gamma$,

где $\gamma \approx 0,5772$ — постоянная Эйлера.

Литература

• Шаблон:Книга